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Todos os textos e exercícios apresentados nas páginas deste blog foram extraídos do livro de Matemática do 9º ano do Ensino Fundamental II. Salvo algumas adequações...

Bianchini, Edwaldo

Matemática / Edwaldo Bianchini – 6. Ed. – São Paulo : Moderna, 2006
“Componente curricular: Matemática”

 

Quinta-Feira
01 de novembro de 2012
 

Estatística e Probabilidade

1.      Origem da Estatística

A Estatística permite coletar, descrever, organizar, analisar e comunicar dados a respeito de uma população ou de um fenômeno.

Os primeiros “dados estatísticos” apareceram em épocas muito remotas, contemporaneamente ao desenvolvimento da escrita. Registros históricos (informações que encontramos em vestígios de civilizações anteriores à nossa) de mais de 2.000 anos antes de Cristo apontam o uso de processos que hoje chamaríamos de estatísticos. Grandes impérios da Antiguidade (como o sumério, o egípcio e o chinês) e da América pré-colombiana (maia, asteca e inca) fizeram uso do levantamento e registro de dados quantitativos para obter informações a respeito de sua população e de suas riquezas, especialmente para fins administrativos, tributários (relativo ao pagamento de impostos) e militares.

Talvez em virtude dessa aplicação derive o próprio termo estatística, cuja origem é a palavra latina status, que significa “condição, situação” ou “Estado”.

A introdução do termo para denominar esse campo de estudo é atribuída a Gottfried Achenwall (1719-1772), professor na Universidade de Göttingen, na Alemanha.

Na atualidade, a estatística é essencial para o desenvolvimento de todas as ciências e está presente no cotidiano por meio de índices, tabela e gráficos.

 2.      Formas de obtenção, organização e apresentação de dados

A professora Cláudia fez um estudo sobre a estatura, em centímetro, dos seus 30 alunos.

No estudo, os 30 alunos representam a população estatística, isto é, o conjunto dos elementos que a professora Cláudia pesquisou, e a estatura dos alunos, em centímetro, representa a variável, ou seja, a característica observada nessa população. Uma variável pode ser quantitativa (característica que pode ser medida) ou qualitativa (característica que não pode ser medida, atributo). No caso da professora Cláudia, temos uma variável quantitativa.

Outros exemplos:

·     Cor dos olhos – variável qualitativa;

·     Idade – variável quantitativa;

·     Massa – variável quantitativa;

·     Tipo de cabelo – variável qualitativa.

Quando uma pesquisa considera todos os elementos da população, como é o caso da pesquisa da professora Cláudia, ela é denominada censo. Mas nem sempre é possível pesquisar toda a população. Por exemplo, se a professora quisesse fazer a pesquisa com todos os alunos das escolas de Aurelino Leal, teria trabalho e custos imensos, sem contar o tempo que passaria organizando os dados. Nesses casos, podemos recorrer a uma amostra, isto é, uma parte da população. E os resultados encontrados na amostra poderão ser estendidos para a população. Para que isso seja possível, a amostra tem de ser representativa, ou seja, deve apresentar todas as características, quantitativas e qualitativas, da população que representa.

Deve ainda ser imparcial, Isto é, todos os elementos da população devem ter igual oportunidade de fazer parte da amostra. Existem várias técnicas para a escolha de uma amostra, de forma que garanta que esta represente, da melhor maneira possível, a população da qual foi retirada.

Organização de dados

Para coletar os dados, a professora Cláudia fez a medição da estatura de cada aluno. Ela poderia ter coletado esses dados de outra forma, por exemplo, perguntando diretamente aos alunos ou consultando algum documento no qual essas medidas estivessem registradas.

Ela representou as estaturas, em centímetro, dos 30 alunos no quadro - de – giz à medida que as obteve por isso os dados não aparecem em ordem.

 

Os dados assim apresentados são denominados dados brutos. Essa apresentação não favorece a observação de regularidade ou de tendências nos dados; para isso é conveniente organizá-los em forma de rol, ou seja, em ordem crescente ou decrescente.

Com os dados em ordem, podemos facilmente verificar a freqüência absoluta de cada estatura, ou seja, a quantidade de vezes que cada uma delas se repete no grupo de dados. Podemos, então, organizá-los em uma tabela, chamada tabela de distribuição de freqüência.

 

Ao ler a tabela, podemos tirar algumas conclusões:

·     A estatura 152 cm tem frequência 4, isto é, 4 alunos tem 152 cm de altura;

·     A estatura 170 cm tem frequência 3, isto é, 3 alunos tem 170 cm de altura;

·     15 alunos tem altura até 160 cm, pois: 4 alunos tem 152 cm, 5 tem 155 cm e 6 tem 160 cm.

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Quinta-Feira
08 de novembro de 2012

Apresentação de resultados

Em outros momentos, vocês já aprenderam a interpretar e a organizar dados em tabelas e em gráficos estatísticos. Essas representações são utilizadas tanto com o objetivo de organizar os dados obtidos em uma pesquisa para observação de padrões ou do comportamento das variáveis, como para comunicação dos resultados encontrados.

 Relembrando algumas dessas representações:

·     Gráfico de colunas

O gráfico de colunas é formado por retângulos de mesma largura, com base em um eixo horizontal e alturas correspondentes a valores em determinada escala.

·     Gráfico de barra

 

A construção do gráfico de barras é parecida  com a do gráfico de colunas, só que a base dos retângulos que formam as barras fica apoiada no eixo vertical.

·     Gráfico de setores

 

 

  

No gráfico de setores, a frequência de cada dado estatístico é representada por um setor (uma “fatia”) do círculo, cuja área é proporcional à área do círculo. Ele é usado quando se deseja relacionar os dados estatísticos entre si ou parte deles com o todo. 

·     Gráfico de linhas

O gráfico de linhas é usado principalmente para estudar um fenômeno no decorrer do tempo. Ele tem dois eixos: o horizontal, que no exemplo acima foram anotados os intervalos de tempo; e o vertical (que pode ficar oculto), em que são  marcadas frequências em determinadas escala. Unindo os pontos obtidos no cruzamento dos valores marcados nos dois eixos, determinamos a linha do gráfico.

·     Gráfico de múltiplas entradas

 

Um gráfico de múltiplas entradas pode ser de linhas, de colunas, de barras, entre outros tipos.

Nele, representa-se a mesma característica, estudada em duas ou mais amostras, facilitando a comparação entre elas.

·     Pictogramas

                                                                                                             Dados obtidos por Claúdio.

 

Pictograma é um gráfico constituído por desenhos relacionados ao tema. Às vezes as freqüências são representadas pela mesma figura em tamanhos proporcionais a essas freqüências e, às vezes, escolhe-se uma figura para representar determinada freqüência. Esse tipo de gráfico é muito usado em jornais e revistas.

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Quinta-Feira
15 de novembro de 2012

3.  Frequência relativa

Elaborou-se uma pesquisa sobre o gênero de música preferida dos alunos de duas turmas do colégio da Professora Cláudia. Na turma A há 26 alunos e na B, 35 alunos. O resultado obtido na pesquisa foi organizado na tabela a seguir:

Observando os resultados da tabela, é possível afirmar que o rock e o sertanejo tem a mesma popularidade nas duas turma?

Apesar de os dois gêneros de música, rock e sertanejo, apresentarem mesma freqüência absoluta (número de alunos) nas duas turmas, a popularidade de cada tipo de música não é igual, pois as duas turmas tem total de alunos diferentes. Nesse caso, par o rock, na turma A temos 10 alunos em um total de 26 alunos, enquanto na turma B temos 10 alunos em um total de 35. A mesma observação pode ser feita para o sertanejo.

Nessa situação, só podemos comparar a popularidade de um gênero musical entre duas turmas se observarmos a razão entre o número de alunos que preferem determinado tipo de música e o total de alunos da turma. Essa razão, em estatística, é chamada de freqüência relativa.

A freqüência relativa (Fr) é dada por:  

Na turma A, calculamos a freqüência  relativa para o gênero de música pagode, da seguinte maneira:

Para o mesmo gênero da turma B, temos:

Calculando as freqüências relativas para os outros gêneros de música, podemos montar a seguinte tabela: 

A freqüência relativa geralmente é apresentada na forma percentual. Organizando os dados na forma percentual, obteríamos a seguinte tabela:

Com base nos dados dessa tabela, podemos concluir que apesar de rock e sertanejo apresentarem a mesma freqüência absoluta, a freqüência relativa para esses gêneros musicais não foi a mesma. Com  isso, podemos concluir que a popularidade de cada um desses gêneros não é igual nas duas turmas.

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Quinta-Feira
22 de novembro de 2012

1. Medidas de tendência central ou medidas-resumo

Vimos anteriormente vários recursos ou técnicas estatística para descrição do grupo de valores que uma variável pode assumir. Observamos que as organizações de dados em tabelas de freqüências e gráficos podem fornecer informações sobre o comportamento de uma variável, permitindo a verificação de tendências e padrões. Porém, às vezes, precisamos resumir ainda mais um conjunto de dados para expressar determinada característica da população pesquisada.

Medidas de tendência central são medidas que podem resumir um conjunto de dados a um só valor que seja representativo de todos os dados. São elas:

·         Moda

·         Média 

·         Mediana

Moda

Na tabela a seguir, temos a distribuição de freqüência absoluta da estatura, em metro, de cada aluno da Escola da Professora Cláudia.

 

Observe que a estatura que apresenta a maior frequência (35) é 1,62m. Então, dizemos que 1,62 m é a moda desse grupo de alunos.

Tendo como referência o mesmo grupo de alunos, foi construída uma tabela de distribuição de freqüência absoluta das idades.

 

Na tabela, as idades que apresentam a maior freqüência (34) são 11 e 12 anos. Então, dizemos que existem duas modas: 11 e 12 anos.

 

Acompanhe mais um exemplo:

Na tabela a seguir, temos resultado de uma pesquisa encomendada por uma empresa de TV por assinatura sobre a preferência de 2.000 clientes em relação a alguns canais.

Neste exemplo, o canal de TV que apresenta maior freqüência, 600 telespectadores, é o canal Y. Podemos dizer, então, que esse canal é a moda nessa pesquisa.

Quando todos os elementos de uma pesquisa tiverem uma mesma freqüência, dizemos que não há moda. Por exemplo:

  

Média

·       Média aritmética

Você já viu anteriormente como calcular a média de um conjunto de dados. Relembrando:

Professora Cláudia, avisou aos alunos que a média bimestral seria calculada conforme o seguinte critério: adicionam-se as notas obtidas no projeto, na prova e no trabalho em grupo e divide-se o resultado por 3.

Laura é uma das alunas da professora Cláudia. Assim que recebeu todas as notas, Laura foi logo calculando sua média bimestral. Observe:

Portanto, nesse bimestre, Laura obteve a média 7,0.

A média aritmética das notas de Laura, ou simplesmente a média das notas, é 7,0. É como se Laura tivesse obtido notas 7,0 em todas essas atividades.

Para calcular a média aritmética de dois ou mais números, dividimos a soma desses números pela quantidade de números dados.

·       Média aritmética ponderada

Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1.

A prefeitura de um município brasileiro promoveu um concurso para o preenchimento de algumas vagas. Cada candidato realizou três provas: Matemática, Língua Portuguesa e Conhecimentos Gerais.

A média dos candidatos foi calculada considerando-se o seguinte critério: prova de Matemática, peso 4; prova de Língua Portuguesa, peso 3; e prova de Conhecimentos Gerais, peso 3.

Fernando é um dos candidatos. Assim que as notas foram publicadas no Diário Oficial do Município, Fernando resolveu conferir sua média. Observe:

Notas das provas de Fernando

Matemática: 7,5   Língua Portuguesa: 5,0   Conhecimentos Gerais: 6,0

Média obtida por Fernando

Dessa forma, Fernando confirmou que sua média foi 6,3.

Situação 2.

Durante o último mês, o número de atendimentos diários realizados em um consultório odontológico foi:

Para determinar a média diária de atendimentos realizados nesse consultório, podemos verificar a quantidade de atendimentos diários e calcular a média. Observe:

 

Então:

 

Logo, a média diária de atendimento realizados nesse consultório odontológico foi 8. Toda média calculada como nas duas situações apresentadas é chamada de média aritmética ponderada.

Mediana

Acompanhe as situações:

Situação 1.

As estaturas, em centímetro, de cinco jogadores de basquete são: 177, 185, 175, 195 e 192.

Ordenando essas estaturas, por exemplo, de modo crescente, temos:

175, 177, 185, 192 e 195.

Observe que esse grupo de estaturas é formado por 5 termos que ocupam 5 posições:

Como o grupo pesquisado é formado por uma quantidade ímpar de termos, existe um termo que divide o grupo em duas partes com a mesma quantidade de termos, ao qual chamamos termo central.

Na situação apresentada, o termo central ocupa a 3ª posição ordinal, crescente, que corresponde à estatura de 185 cm. Então, dizemos que 185 cm é a mediana do grupo pesquisado.

Situação 2.

As notas referentes à avaliação de Língua Inglesa realizada por 8 alunos de uma escola são: 9,5;  5,5;  2,5;  6,0;  5,5;  7,0;  7,5 e 8,0.

Ordenando essas notas de modo crescente, temos:

2,5       5,5       5,5       6,0       7,0       7,5       8,0       9,5

Observe que esse grupo de notas é formado por 8 termos que ocupam 8 posições:

Como o grupo pesquisado é formado por uma quantidade par de termos, existem dois termos centrais.

Na situação apresentada, os termos centrais ocupam a 4ª posição e a 5ª posição ordinais, crescentes.

Nesse caso, para obter a mediana temos de calcular a média aritmética desses dois termos centrais:

Logo, a mediana é a nota 6,5.

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Quinta-Feira
    29 de novembro de 2012

   

1. Noções de probabilidade

Para arrecadar dinheiro para a formatura, um grupo de alunos resolveu rifar uma televisão. A rifa é composta de 100 nomes, e apenas um nome é o premiado. Qual é a probabilidade de Joana ganhar a TV se ela comprou 5 nomes dessa rifa?

Você já viu anteriormente que a probabilidade é a medida da chance de um evento acontecer, nesse caso, a medida da chance de Joana ganhar a TV.

Essa situação lida com a incerteza, pois ao comprar um nome da rifa não é possível saber qual nome é o premiado. Esse tipo de experiência é objeto de estudo da Teoria das Probabilidades.

A Teoria das Probabilidades lida com o estudo das leis que regem os fenômenos que dependem do acaso, ou seja, aqueles fenômenos cujos resultados não se podem prever. Nesse caso, interessam a essa teoria as experiências aleatórias, ou seja, aquelas cujo resultado seja imprevisível, mesmo se forem repetidas sob as mesmas condições.

São exemplos de experiências aleatórias:

·         Escolher um aluno ao acaso para saber qual o seu time preferido;

·         Lançar um dado;

·         Lançar duas moedas;

·         Retirar uma carta do baralho;

·         Lançar dois dados e obter a soma de duas faces.

Retornemos ao problema de Joana. Os 100 nomes da rifa formam o espaço amostral dessa experiência aleatória.

O espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento.

Os cinco nomes da rifa adquiridos por Joana formam um evento dessa experiência aleatória.

De forma geral, um evento é todo subconjunto do espaço amostral.

Definidos o espaço amostral e o evento de um experimento aleatório, calculamos a probabilidade da ocorrência desse evento por meio da seguinte razão.

Probabilidade de um evento = 

 

No caso da rifa, temos:

Probabilidade de Joana ganhar a TV = 5/100 ou 0,05 = 5%

 

Mais um exemplo:

Qual a probabilidade de sair a soma 6 no lançamento de dois dados?

Antes de calcularmos a probabilidade, devemos definir o espaço amostral:

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(1,1)             (2,1)             (3,1)             (4,1)            (5,1)             (6,1)

(1,2)             (2,2)             (3,2)             (4,2)            (5,2)             (6,2)

(1,3)             (2,3)             (3,3)             (4,3)            (5,3)             (6,3)

(1,4)             (2,4)             (3,4)             (4,4)            (5,4)             (6,4)

(1,5)             (2,5)             (3,5)             (4,5)            (5,5)             (6,5)

(1,6)             (2,6)             (3,6)             (4,6)            (5,6)             (6,6)

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Observe que os casos favoráveis são:

(1,5)           (2,4)           (3,3)           (4,2),           (5,1)

Desse modo, a probabilidade de sair soma 6 nas faces dos dados é dada pela razão: 

5/36 aproximadamente 0,14 ou 14%

Observações:

*Quando a probabilidade é zero, dizemos que o evento é impossível.

*Quando a probabilidade é 1 ou 100%, dizemos que o evento é certo.